Распределение множителей: гистограммы и плотность

Функция плотности вероятности (PDF — Probability Density Function) множителей описывает вероятностную структуру возможных исходов аналитической системы. Для дискретных систем с конечным числом исходов PDF задаётся таблицей вероятностей: f(xᵢ) = P(X = xᵢ), где Σᵢ f(xᵢ) = 1. Для систем с непрерывным пространством множителей PDF является неотрицательной функцией f(x) ≥ 0, удовлетворяющей условию нормировки ∫₋∞^∞ f(x)dx = 1. Характерной особенностью распределения множителей является его асимметрия: плотность сконцентрирована в области малых значений с тяжёлым правым хвостом, соответствующим редким высоким множителям.

Кумулятивная функция распределения (CDF — Cumulative Distribution Function) определяется как F(x) = P(X ≤ x) = ∫₋∞^x f(t)dt и представляет собой монотонно неубывающую функцию с F(−∞) = 0, F(+∞) = 1. CDF является более робастным инструментом анализа по сравнению с PDF, поскольку определена для любых распределений (включая дискретные и смешанные). Квантильная функция Q(p) = F⁻¹(p) = inf{x : F(x) ≥ p} позволяет определить пороговые значения множителя для заданной вероятности. Например, медиана распределения M = Q(0.5), а 99-й перцентиль Q(0.99) характеризует верхнюю границу «типичных» значений.

Эмпирическое распределение множителей строится на основе наблюдённых данных с использованием гистограмм и ядерных оценок плотности (KDE — Kernel Density Estimation). Гистограмма разбивает диапазон значений на k интервалов (бинов) равной ширины h = (x_max − x_min)/k, и для каждого бина вычисляется относительная частота. Оптимальное число бинов определяется правилами Стёрджеса (k = 1 + log₂n), Фридмана-Диакониса (h = 2·IQR·n⁻¹/³) или Скотта (h = 3.49·s·n⁻¹/³). KDE обеспечивает непрерывную оценку плотности: f̂(x) = (1/n·h)·Σᵢ K((x − xᵢ)/h), где K — ядровая функция (обычно гауссовское ядро).

Оценка параметров теоретического распределения, наилучшим образом аппроксимирующего эмпирические данные, осуществляется методом максимального правдоподобия (MLE). Функция правдоподобия L(θ) = Πᵢ f(xᵢ|θ) максимизируется по вектору параметров θ. Для распределений множителей часто применяются: экспоненциальное распределение (f(x) = λe⁻λˣ), гамма-распределение (f(x) = xᵅ⁻¹·e⁻ˣ/β / (βᵅ·Γ(α))), распределение Парето (f(x) = α·x_m^α / x^(α+1)). Выбор оптимальной модели осуществляется через информационные критерии AIC = 2k − 2ln(L) и BIC = k·ln(n) − 2ln(L), а также тесты согласия (χ²-тест Пирсона, тест Колмогорова-Смирнова, тест Андерсона-Дарлинга).